关于（求和符号∑）不可不知的事情

引言： 求和符号经常活跃于数学或工程实际问题中，特别是处于多重求和情况时，连用的求和符号存在运算的优先顺序，有时我们可以直接互换不同求和符号之间的位置，而有时不同的位置则代表不同的求和意义。因此，关于求和符号∑的问题还是很有必要进行一番细致的讨论。

一、从单重求和谈起 我们通过一个稍微简单的例子来回顾下求和符号的使用（如下所示）。

∑

i

=

1

10

g

(

k

,

l

)

h

(

i

,

j

)

=

g

(

k

,

l

)

∑

i

=

1

10

h

(

i

,

j

)

\sum_{i=1}^{10}{g\left( k,l \right) h\left( i,j \right)}=g\left( k,l \right) \sum_{i=1}^{10}{h\left( i,j \right)}

i=1∑10​g(k,l)h(i,j)=g(k,l)i=1∑10​h(i,j) 求和符号展开的关键在于替换所有的计数下标，本例中

g

(

k

,

l

)

g\left( k,l \right)

g(k,l)与计数下标i无关，故可直接提取到求和符号外。最终结果如下所示：

g

(

k

,

l

)

(

h

(

1,

j

)

+

h

(

2,

j

)

+

⋅

⋅

⋅

+

h

(

10,

j

)

)

g\left( k,l \right) \left( h\left( \text{1,}j \right) +h\left( \text{2,}j \right) +···+h\left( \text{10,}j \right) \right)

g(k,l)(h(1,j)+h(2,j)+⋅⋅⋅+h(10,j))

二、多重求和（二重情况） 当出现两个及以上的求和符号时，它们之间必然存在着某种运算的优先顺序。为便于理解和阅读，我们也可以适当对其添加括号来明确这种运算顺序。比如下面这样：

∑

i

=

1

3

∑

j

=

1

4

f

(

i

,

j

)

=

∑

i

=

1

3

(

∑

j

=

1

4

f

(

i

,

j

)

)

=

∑

i

=

1

3

(

f

(

i

,

1

)

+

f

(

i

,

2

)

+

f

(

i

,

3

)

+

f

(

i

,

4

)

)

\sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right) =\sum_{i=1}^3{\left( \sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right)} \right)}}}=\sum_{i=1}^3{\left( f\left( i,1 \right) +f\left( i,2 \right) +f\left( i,3 \right) +f\left( i,4 \right) \right)}

i=1∑3​j=1∑4​f(i,j)=i=1∑3​(j=1∑4​f(i,j))=i=1∑3​(f(i,1)+f(i,2)+f(i,3)+f(i,4)) 实际上，由于计数下标i和j的范围不同，上述双重求和表达式中的两个求和符号的顺序可以互换，即可以写成下面这种形式：

∑

i

=

1

3

∑

j

=

1

4

f

(

i

,

j

)

=

∑

j

=

1

4

∑

i

=

1

3

f

(

i

,

j

)

\sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right) =\sum_{j=1}^4{\sum_{i=1}^3{f\left( i,j \right)}}}}

i=1∑3​j=1∑4​f(i,j)=j=1∑4​i=1∑3​f(i,j) 既然存在可以直接互换的情况，那么也必然存在求和符号顺序不可直接互换的情况，比如下面这个例子，如果强行直接互换两者，那么其表达式的意义也就发生了变化。

原

式

：

∑

i

=

1

4

∑

j

=

1

i

f

(

i

,

j

)

原式：\sum_{i=1}^4{\sum_{j=1}^i{f\left( i,j \right)}}

原式：∑i=14​∑j=1i​f(i,j) (2-1)